Combinatoria (I): Problemas

Problemas de combinatoria: Permutaciones, variaciones y combinaciones

combinatoria

 

 

 

 

 

Aquí os paso unos problemasejerciciosprácticas o como queríais llamarlos. Algunos son problemas resueltos.

1.            En un campamento mundial de ciclismo participan cuatro equipos que permiten a los cuatro países siguientes: España, Francia, Alemania, e Italia. ¿Cuántas clasificaciones se pueden hacer?

4 = 4! = 4· 3· 2· 1 = 24

2.            ¿De cuantas formas distintas se pueden sentar ocho personas en un banco?

P 8 = 8! = 8· 7· 6· 5· 4· 3· 2· 1 = 40320

3.            ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar ocho personas en una mesa circular?

NOTA: Hay que tener en cuenta que una vez sentada, si trasladamos a cada persona un asiento a la izquierda obtendremos una posición idéntica a la anterior. Por lo que fijaremos a una persona y permutamos el resto de todas las formas posibles:

P 7 = 7! = 7· 6· 5· 4· 3· 2· 1 = 5040

4.            Un jugador habitual de quinielas tiene la corazonada de que en la próxima jornada futbolística ganarán 9 equipos en casa, empataran 3 y ganaran en campo contrario 2, ¿cuántas quinielas deberá rellenar para asegurarse un pleno de 14?

 =  20.020

5.            Si se desean repartir 3 relojes, 2 bicicletas y 4 pelotas entre 9 niños, de modo que cada uno de ellos reciba un regalo, ¿cuántas formas posibles hay de hacerlo?

P   = 1260

6.            En una jaula hay cuatro conejos blancos y tres grises. Salen de la jaula de uno en uno, ¿de cuántas maneras distintas pueden hacerlo?

= 35

7.            ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con la palabra MATEMÁTICAS?

8.            ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar ocho personas en un banco?

9.            En una competición participan cinco equipos, ¿de cuántas maneras se pueden clasificar?

10.        Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra AVIÓN?

V(5, 3)  = 5· 4· 3 = 60

11.        En una quiniela hípica hay que acertar los tres primeros caballos que llegan a meta  en una carrera en la que hay diez competidores. ¿Cuántas quinielas hay que hacer para acertar?

V (10, 3) = 10· 9· 8 = 720

12.        ¿De cuantas formas distintas se pueden sentar 12 alumnos en los cuatro asientos de la primera fila de la clase?, ¿Y si el primer puesto está siempre reservado para el delegado?

V (12, 4) = 12· 11· 10· 9 = 11.880

(como se fija un asiento hay 11 alumnos, y por tanto 3 asientos)

V 11, 3 = 11· 10· 9 = 990

13.        Calcula el número de quinielas de fútbol que hay que hacer para acertar 14 con seguridad.

V R 3, 14 = 3 14 = 4.782.969

14.        Se lanzan tres dados de distintos colores una vez, ¿cuántos resultados distintos se pueden obtener?

V R 6, 3  = 6 3 = 216

15.        En los próximos campeonatos mundiales de fútbol van a participar 24 equipos, ¿de cuántas maneras pueden estos equipos ocupar los cuatro primeros puestos?

16.        En el alfabeto telegráfico Morse se utilizan dos signos: el punto y la raya, ¿se pueden representar todas las letras del abecedario  por grupos formados con uno, dos, tres o cuatro signos?

17.        Con las cinco primeras cifras significativas ¿cuántos números de cuatro cifras pueden formarse que sean distintos entre sí y que al mismo tiempo sean múltiplos de 3?  Y ¿cuantos sean múltiplos de 4?

18.        En una carrera donde compiten 10 corredores y se clasifican los tres primeros para la fase siguiente, indica las combinaciones posibles que habrá.

C10, 3 = 120 casos posibles

19.        Suponemos que van a enviarse cinco jueces federales a cierto Estado. El jefe del senado estatal envía al presidente una lista que contiene los nombres de diez hombres y cuatro mujeres. Si el presidente decide que de los cinco jueces tres deben ser hombres y dos mujeres, ¿de cuántas maneras puede lograrse?

C10, 3 = 120 casos posibles de hombres

C4, 2 = 6 casos posibles de mujeres. Por lo que el número total de casos es:

 

120· 6 = 720 casos totales

20.        ¿De cuántas maneras se pueden extraer tres cartas de un conjunto de cuarenta?

C40, 3 =  9880 cartas diferentes se pueden extraer

21.        El dueño de un bar desea atraer el número máximo de clientes,  cada fin de semana, por lo que propone diferentes cócteles, empleando en cada cóctel 4 bebidas de las 15 que posee ¿de cuántas maneras podrá mezclarlas y así tener un número máximo de clientes? Por favor ayude al dueño.

C15, 4 = 1365 cócteles diferentes puede hacer, por lo que deseamos que atraiga el número máximo de clientes durante el fin de semana.

22.        En la universidad Pontificia los alumnos deciden realizar un sorteo para el viaje de fin de curso. Para numerar las papeletas deciden utilizar únicamente los dígitos 1, 2, 3, 4, 5. ¿Cuántas papeletas distintas de cuatro dígitos podrán vender si no se tiene en cuenta el orden, y los dígitos pueden ser repetidos?

C R  = 70 papeletas diferentes

23.        Un programa de TV desea poner 3 presentadores para una gala puedes decir ¿cuántos grupos de géneros (hombre, mujer) distintos se pueden formar? ¿Cuántos grupos posibles de  se pueden formar si disponemos de 7 personas?

CR 2, 3 =    4 grupos posibles distintos

C 7, 3 =  35 grupos de presentadores diferentes

24.        En una confitería hace cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden encargar cuatro pasteles, teniendo en cuenta que se pueden llevar uno o más de la misma clase?

C 5, 4 = 70 formas se pueden elegir

25.        Se presentan 10 candidatos a unas elecciones para elegir a tres diputados. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer la elección?

26.        En una reunión de 30 personas se decide formar comisiones con 6 personas para estudiar un cierto plan. ¿Cuántas comisiones diferentes se pueden formar?

27.        Si se dispone de 3 bolas iguales a las que hay que distribuir en 5 cajas distinguibles, ¿de cuántas maneras se puede hacer?

28.        En los próximos campeonatos mundiales de fútbol van a participar 24 equipos, ¿de cuántas maneras pueden estos equipos ocupar los cuatro primeros puestos?

29.        En el alfabeto telegráfico Morse se utilizan dos signos: el punto y la raya, ¿se pueden representar todas las letras del abecedario  por grupos formados con uno, dos, tres o cuatro signos?

30.        ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con la palabra MATEMÁTICAS?

31.        ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar ocho personas en un banco?

32.        En una competición participan cinco equipos, ¿de cuántas maneras se pueden clasificar?   

33.        Se presentan 10 candidatos a unas elecciones para elegir a tres diputados. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer la elección?

34.        En una reunión de 30 personas se decide formar comisiones con 6 personas para estudiar un cierto plan. ¿Cuántas comisiones diferentes se pueden formar?

35.        Si se dispone de 3 bolas iguales a las que hay que distribuir en 5 cajas distinguibles, ¿de cuántas maneras se puede hacer?

36.        ¿Cuánto vale el quinto término del siguiente binomio (x2 +2 )7? (ordenado en el orden decreciente del grado de x)

37.        Con las cinco primeras cifras significativas, ¿cuántos números de cuatro cifras pueden formarse que sean distintos entre sí y que al mismo tiempo sean múltiplos de tres? Y ¿cuántos que sean múltiplos de cuatro? R. 24, 24

38.        Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6, ¿cuántos números de cinco cifras, no repetidas, pueden formarse que sean múltiplos de cuatro? R. 192.

39.        ¿Cuántos números de cuatro cifras no repetidas pueden formarse con las del número 354621 que tengan la cifra cinco por centenas? R. 60

40.        ¿Cuántos números de cuatro cifras, no repetidas se pueden formar con las seis primeras significativas? R. 360 ¿En cuántas entrará la cifra cinco? R. 240

41.        Se dispone de las cifras 1, 2, 3, 4, 5, y 6. ¿Cuántos números de cinco cifras no repetidas pueden escribirse de modo que no haya dos cifras pares ni impares juntas? R.72

42.        En cada uno de los vértices de un hexágono hay sendas luces de distinto color, ¿cuántas señales distintas se pueden hacer encendiendo menos de cuatro luces, y definiendo señales distintas cuando hay cambio de color? R.41.

43.        Calcula cuántos números hay de cinco cifras que sean capicúas y que se pueden formar con el cero y los cuatro primeros números primos, sin repetir cifras en los lugares no simétricos. R 48.

44.        ¿De cuántos modos se pueden ordenar siete alumnos A, B, C, D, E, F y G, en un banco de modo que el A quede en el primer lugar y B en el tercero? ¿Y si A, C y E han de ocupar siempre lugares impares? R: 51; 576.

45.        Con las siete primeras cifras significativas, ¿cuántas ordenaciones distintas pueden formarse con la condición de las cifras impares ocupen los lugares impares? R. 144.

46.        Calcula la suma de todos los números de cuatro cifras que se pueden formar con los guarismos 2, 4, 6 y 8.

47.        Con las cifras 0, 1, 2, 3 y 4, ¿cuántos números de cinco cifras pueden escribirse? R.96.

48.        Con las letras de la palabra EUROPA, ¿cuántas ordenaciones distintas pueden formarse que empiecen y terminen por consonante? ¿Cuántas que empiecen y terminen por vocal? R.48, 288.

49.        Con las letras de la palabra PERMUTACIÓN, ¿cuántas permutaciones pueden formarse que empiecen por vocal? ¿Y que terminen por consonante?¿Y que empiecen por vocal y terminen por consonante? R: 5·10!; 6·10!; 5·9!.

50.        ¿Cuántos números de tres cifras no repetidas se pueden formar con las nueve cifras significativas? Halla la suma de todos ellos. R: 504; 279720.

 

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