Problemas de Combinatoria (II)

Problemas de combinatoria: Permutaciones, variaciones y combinaciones

Aquí os paso unos problemasejerciciosprácticas o como queríais llamarlos. Algunos son problemas resueltos.

1.            El número de combinaciones de m elementos, tres a tres, y el de variaciones, dos a dos, son iguales para un cierto valor de m. ¿Cuál es éste? Y para él, ¿cuánto valdrá el número de permutaciones? R: 81!; 2·7!.

2.            ¿De cuántos modos diferentes se pueden repartir cuatro juguetes distintos entre tres niños sin que sobren juguetes, ni dejar a ningún niño sin juguete? R.72.

3.            Se suponen ordenadas en sucesión creciente todas las permutaciones ordinarias que pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 5, 8, 9. ¿Qué lugar ocupa la permutación 598132? R. 476

4.            Con las letras de la palabra MALAGA forma todas las permutaciones en las que no haya dos consonantes juntas. R. 12

5.            ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras pares 2, 4, 6 y 8? ¿Cuántos de esos números empiezan por 2? ¿Cuántos terminan en 64? ¿Cuántos hay mayores de 500? ¿Cuánto suman todos los números de tres cifras que se pueden obtener? R. 24; 6; 12; 13320.

6.            ¿Cuántas palabras diferentes de tres letras pueden formarse con las letras de la palabra CIMA, sin que se repita ninguna letra? Una vez calculado el número, escríbelas todas ordenadamente.

7.            Calcula cuántas palabras diferentes de cuatro letras distintas pueden formarse con las letras de la palabra MUSA. Después escríbelas ordenadamente.

8.            ¿Cuántos subconjuntos distintos de tres elementos pueden formarse con un conjunto de 8 elementos?

9.            Calcular el valor de m para que  Vm,3 = 2 Vm,2

10.        Hallar el valor de m para que se verifique Vm,2 + Vm-1,2 + Vm-2,2 = 62

11.        Escribir como cociente de números factoriales las siguientes expresiones:

a)      11 x 10 x 9b)      (x+1) x (x-1)c)      (p-2) (p-3) (p-4)

12.        Resolver la ecuación   Px-1 = 56 Px-3

13.        Resolver la ecuación   Vx,2 + 5 P3 = 9x + 6

14.        Hallar x sabiendo que Cx,x-2 = 10

15.        Resolver la ecuación   3 Cx,4 = 5 Cx,2

16.        En una carrera en la que participan 10 caballos existen dos tipos de apuesta: en la primera hay que acertar quién va a quedar primero, quién segundo y quién tercero; en la segunda hay que acertar cuáles van a ser los cuatro primeros caballos en llegar, pero no su clasificación. ¿Cuál de los dos tipos de apuesta crees que es más sencilla?

17.        ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas pueden escribirse con las cifras 0, 2, 4, 6?

18.        Dibuja una circunferencia y marca sobre la misma doce puntos. Uniendo parejas de esos puntos ¿Cuántos pentágonos distintos se podrían formar?

19.         Con las cifras 0, 2, 4, 6 y 8 ¿cuántos números distintos de tres cifras, todas ellas diferentes, pueden formarse?

20.        ¿Cuántos números mayores que 4100 se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4 sin que se repita ninguna?

21.        Recordando que una diagonal de un polígono convexo es el segmento que une dos vértices no consecutivos ¿cuántas diagonales se pueden trazar en un octógono convexo?

22.        Averiguar cuántas guardias de cinco personas se pueden programar con 14 soldados, con la condición de que el más antiguo de ellos ha de participar en todas.

23.        Calcular la suma de todos los números de 4 cifras distintas que se pueden formar con las cifras 1, 3, 5, 7.

24.        En una fábrica hay varios centros de almacenamiento, cada uno de los cuales está unido a los demás por una cinta transportadora. Calcula el número de centros de la fábrica si se sabe que el número de cintas transportadoras es 66.

25.        ¿Cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con las cifras 2, 3, 5, 7, 8, teniendo que ser la primera cifra par?

26.        Hallar cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con las cifras 2, 3, 4, 5, 6, 7 que estén comprendidos entre 400 y 600.

27.        Calcula la suma de todos los números de cuatro cifras significativas, todas ellas pares y diferentes.

28.        Se tienen nueve puntos en un plano. Cuatro de ellos están alineados y los restantes están dispuestos de forma que no hay nunca 3 alineados. ¿Cuántos triángulos pueden formarse que tengan sus vértices sobre esos 9 puntos? ¿Cuántas rectas distintas determinan esos puntos?

29.        ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con cinco banderas distintas agrupándolas de tres en tres y sin que se repita ninguna? ¿Y agrupándolas de todas las formas posibles (es decir, de una en una, de dos en dos, etc)?

30.        Halla la suma de todos los números de cinco cifras diferentes que pueden formase con las cifras 0, 1, 2, 3, 4.

31.        ¿Cuántas palabras (con sentido o no) pueden formarse que tengan exactamente las mismas letras de la palabra CASTO y que empiecen y terminen por vocal?

32.        En un club de fútbol hay 23 jugadores, de los que 3 son porteros. ¿Cuántas alineaciones diferentes puede hacer el entrenador si cualquiera de los jugadores de campo puede jugar como defensa, medio o delantero?

33.        ¿Cuántos equipos de baloncesto de 5 jugadores cada uno pueden hacerse en un club de 11 jugadores, con la condición de que los jugadores A, B y C no pueden estar simultáneamente en el mismo equipo?

34.        Averiguar cuántos números mayores que 200 y menores que 700 pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sin que tengan cifras repetidas. Responde a la misma cuestión en el caso de que las cifras se puedan repetir.

35.        ¿Cuántas quinielas de fútbol habría que hacer para tener la certeza de tener una de 14 aciertos? (No tenemos en cuenta la opción del pleno al 15). ¿Cuántas apuestas habría que rellenar en el Bono Loto o en la Lotería Primitiva para tener la certeza de tener una de 6 aciertos? ¿Cuántos números de la Lotería Nacional tendría que adquirir para estar seguro de que me toca el gordo? Averigua los precios actuales de cada una de esas apuestas y explica por qué existe esa variedad.

36.        Con las letras de la palabra BRAVO, ¿cuántas ordenaciones distintas pueden hacerse de forma que no haya dos vocales juntas?

37.        Suponemos ordenadas en forma creciente todas las permutaciones que pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 5, 8, 9 sin que se repita ninguna. ¿Qué lugar ocupará la permutación 598132?

38.        ¿Cuántos puntos de intersección producen 8 rectas coplanarias, sabiendo que dos de ellas son paralelas?

39.        ¿Cuántas palabras que contengan dos consonantes y dos vocales pueden formarse con cinco consonantes y cuatro vocales?

40.        ¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse con las cifras 4, 5, 6 y 7? ¿Cuántos de esos números terminan en 5? Calcula la suma de todos los números obtenidos en las dos preguntas anteriores?

41.        Se suponen ordenadas en sentido creciente todas las permutaciones posibles con las cifras 1, 2, 3, 5, 7, y 8 ¿Qué lugar ocupará la permutación 731825?

42.        Con, exactamente, las letras de la palabra FRANCISCO ¿cuántas palabras pueden formarse con la condición de que empiecen por N y terminen por una consonante?

43.        De cierto número de rectas coplanarias se sabe que no hay tres de ellas que concurran en el mismo punto y no hay ninguna pareja de rectas paralelas. Esas rectas producen 45 puntos al cortarse. ¿De cuántas rectas estamos hablando?

44.        En cada uno de los ocho vértices del octógono en que termina la torre de mando de un buque hay luces de colores diferentes. ¿Cuántas señales distintas se podrán hacer encendiendo menos de cinco luces?

45.        ¿Cuántas multiplicaciones distintas de tres factores distintos con una cifra cada uno pueden hacerse con la condición de que el resultado debe ser distinto de cero? ¿Y si quitamos la condición de que los factores sean distintos?

46.        ¿Cuántos productos diferentes pueden formarse con los números 7, 9, 11, 13 y 17 tomados de tres en tres?

47.        Con seis pesas de 1, 2, 5, 10, 20, y 50 kg ¿Cuántas pesadas diferentes pueden obtenerse tomándolas de tres en tres?

48.        ¿Cuántos números enteros distintos mayores que 10 y menores que 100 pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8?

49.        ¿Cuántas palabras, con significado o no, pueden formarse con todas las letras de la palabra “problema”?

50.        ¿Cuántos números distintos de cinco cifras diferentes pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 que sean menores que 54000?

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