Archivo de la etiqueta: permutaciones

Problemas de Combinatoria (III)

Permutaciones, variaciones y combinaciones

Aquí os paso unos problemasejercicios, prácticas o como queríais llamarlos. Algunos son problemas resueltos.

1. ¿Cuántos números distintos de cinco cifras diferentes pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 que sean menores que 54000?

2. Un depósito de agua tiene 5 caños de desagüe, que arrojan 1, 3, 5, 10 y 20 litros por minuto respectivamente. Abriendo indistintamente cuatro de estos caños, ¿en cuántos tiempos diferentes se puede desaguar el depósito?

3. Se tienen 14 letras diferentes. ¿De cuántas en cuántas habrá que tomarlas para que el número de sus combinaciones sea el mayor posible?

4. ¿Cuántas sumas diferentes de dos sumandos se pueden obtener con los números 1, 3, 5, 11, 21 y 41?

5. Una clase tiene 24 alumnos y el profesor pregunta cada día la lección a dos de ellos. El profesor desea que no se repita nunca la misma pareja ¿Durante cuánto tiempo lo podrá conseguir?

6. A una persona se le sirven en cada comida cuatro platos, de los nueve que son de su agrado. ¿Cuántas comidas diferentes puede hacer esa persona?

7. En una fila de cine de 10 butacas, ¿cuántas posiciones diferentes pueden ocupar tres individuos?

8. ¿Cuántas palabras de dos vocales y dos consonantes pueden formarse con cuatro consonantes y dos vocales, con la condición de que no pueden figurar dos vocales seguidas?

9. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 10 personas alrededor de una mesa?

10. En una carrera de seis caballos, ¿cuántas clasificaciones distintas pueden producirse si se supone que no hay ningún tipo de empate?

11. El número de variaciones de n objetos tomados de seis en seis es 720 veces mayor que el de combinaciones de estos objetos tomados de cuatro en cuatro. ¿De cuántos objetos se trata?

12. La diferencia entre el número de variaciones de n objetos tomados de dos en dos y el de combinaciones de esos mismos objetos tomados también de dos en dos es 190. ¿Cuántos objetos hay?

13. Con las cifras del número 8.752.436 ¿cuántos números distintos de tres cifras se pueden formar no repitiendo ninguna? ¿y repitiendo? ¿Cuántos de esos números son mayores que 500 (en ambos casos)?

14. Se tienen los números 5874 y 12369. ¿Cuántos números enteros pueden formarse que contengan dos cifras no repetidas del primero y tres cifras no repetidas del segundo? La misma cuestión pudiendo repetirse las cifras. La misma cuestión no repitiendo las cifras del primero pero sí las del segundo.

15. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 ¿cuántos números distintos de cinco cifras se pueden formar con la condición de que entren todos y de que el 3 ocupe siempre la cifra de las centenas?

16. Halla la suma de todas las posibles combinaciones que pueden hacerse con 10 letras tomadas de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro,…, de ocho en ocho y de nueve en nueve.

17. Una organización estudiantil tiene que elegir un delegado y un subdelegado. Hay 7 candidatos. ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer con los candidatos para realizar la selección?

a) 21

b) 49

c) 42

 

Solución: V(7,2)=7·6=42

Hay otra posible interpretación se deriva del significado matemático de combinaciones

18. Un grupo de tres chicos y dos chicas son colocados al azar en una mesa circular. Si a es el número de colocaciones diferentes en las que se sientan dos chicas juntas y b es el número de colocaciones diferentes en las que no se sientan dos chicas juntas (dos colocaciones serán iguales si una puede ser obtenida de la otra mediante una rotación apropiada). Entonces:

a) a=12 y b=12

b) a=14 y b=12

c) a=15 y b=10

Solución: Al ser circular, fijamos uno como referencia, supongamos un chico: O1, los otros chicos los llamamos: O2, O3. Las chicas: A1 y A2Colocaciones con chicas juntas:O1AAOO->2!·2!=4O1OAAO->2!·2!=4O1OOAA->2!·2!=4 Total: 12Colocaciones con chicas separadas:O1AOAO->2!·2!=4O1AOOA->2!·2!=4O1OAOA->2!·2!=4 Total: 12

 

19. ¿Cuál es el número de colocaciones diferentes de 7 libros en una estantería de modo que tres libros determinados estén siempre separados entre sí?

a) 1520

b) 1634

c) 1440

Solución:Hay 10 formas de escoger 3 casillas separadasHay 3! maneras de permutar 3 elementosHay 4! maneras de permutar 4 elementos En total: 10·3!·4!=1440 Otra forma de enfocarlo:Hay un total de 7! maneras de colocar los 7 libros.Hay 3!·5·5·4! maneras de colocar 2 libros juntos.Total: 7! – 3!·5·5·4!

 

20. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden escribir con cuatro dos y cuatro cincos?

a) 30

b) 50

c) 36

Solución: un número de cinco cifras se puede obtener:4 dos y 1 cinco->22225-> 53 dos y 2 cincos->22255-> 102 dos y 3 cincos ->22555-> 101 dos y 4 cincos->25555-> 5Total de números: 5+10+10+5=30

 

21. ¿Cuál es el tamaño mínimo de una población para que exista al menos un día al año (de 365 días) donde coincidan la fecha del aniversario de nacimiento de al menos nueve personas?

a) 2921

b) 2633

c) 3025

Solución: colocando 8 personas por día, de forma que su aniversario sea ese día, tenemos un total: 8·365=2920Si añadimos una persona más, se colocará en uno de los 365 días, día que pasará a tener 9 personas.La respuesta es 2921

 

22. ¿Cuál es el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación: x1+x2+x3+x4+x5=30?

a) 60211

b) 46376

c) 48520

Solución: el problema es similar a las permutaciones con repetición de treinta 1 y cuatro separadores: 46376

 

23. En una carrera de maratón intervienen 4 españoles, 4 italianos, 4 ingleses y 4 franceses. Supuesto que terminan la carrera todos los corredores, cuántos podios distintos pueden darse al acabar la carrera en los cuales no hay españoles.

a) 1348

b) 1320

c) 1570

Solución: El oro, la plata y el bronce lo obtienen tres personas distintas. Si no pueden ser españoles, hay 12 personas no españolas.El oro lo pueden obtener 12 personasLa plata 11 personasEl bronce 10 personasTotal: 12·11·10=1320

 

24. ¿Cuántas permutaciones del conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, satisfacen la condición: el 1 está en primera posición y el 4 en la tercera?

a) 23

b) 24

c) 26

Solución: Colocando fijos el 1 en la primera y el 4 en la tercera, los cuatro números restantes: 2, 3, 5 y 6 se pueden colocar de 4! formas distintas (permutaciones).Total: 4!=24

 

25. De cuántas formas 5 hombres y 3 mujeres se pueden sentar alrededor de una mesa redonda de modo que dos mujeres no se encuentren juntas. (Dos formas son iguales si se llega de una a otra por rotación. No importa únicamente el sexo sino también que persona es)

a) 1440

b) 6520

c) 1100

Solución: dado que es son permutaciones circulares, fijamos un hombre como referencia relativa.Hay 10 maneras de escoger los tres sitios para las mujeres de forma que no se sienten juntas.Hay 3! formas distintas de colocar las tres mujeres en tres sitios.Hay 4! formas distintas de colocar los cuatro hombres en los sitios restantes.Total: 10·3!·4!=1440

 

26. Un estudiante ha estudiado 120 horas a lo largo de 14 días (se supone que cada día lo ha hecho un número entero de horas). Entonces hubo necesariamente un par de días consecutivos en los que estudió al menos

a) 19 horas en total

b) 18 horas en total

c) 20 horas en total

Solución: repartiendo 119 horas entre 14 días, puede quedar por día:98989898989898 ó 98989898989889(Obsérvese que no hay una pareja consecutiva con más de 17 horas, aunque todas las parejas tienen 17horas salvo una que tiene 16).Si añadimos 1 hora más para obtener los 120, habrá necesariamente una pareja consecutiva con 18 horas.

 

27. Con las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 se forman números de cinco cifras, ¿Cuántos números diferentes pueden formarse sin repetir cifras?

a) 15120

b) 13144

c) 12882

Solución: entendiendo que “01234” es un número de cinco cifras, lo que nos piden serán variaciones sin repetición de 9 elementos tomados de 5 en 5. V(9,5)=9·8·7·6·5=15120

 

28. En una cafetería hay 4 tipos de bocadillos para comer. ¿De cuántas maneras distintas se pueden elegir seis bocadillos de entre los 4 tipos?

a) 81

b) 87

c) 84

Solución: el problema es similar a repartir 6 bolas idénticas en cuatro casillas, donde cada casilla representa un tipo de bocadillo. También es similar a las distintas permutaciones que se pueden realizar con: 1/11/11/1, donde hay 6 unos y 3 separadores.El nº de unos hasta el primer separador indica en número de bocadillos escogidos del primer tipo.El nº de unos entre el primero y segundo separador nos indica el número de bocadillos escogidos del segundo tipo.Total: 84

 

29. ¿Cuántas sucesiones de n dígitos se pueden formar con los elementos {0, 1, 2}, que posean al menos un ‘0’, un ‘1’ y un ‘2’?

a) 3n

b) 3n-3·2n+3

c) 3n-2n+1

Solución: Total de sucesiones de n dígitos son: 3nTotal de sucesiones que no poseen “0”: 2nTotal de sucesiones que no poseen “1”: 2nTotal de sucesiones que no poseen “2”: 2nTotal de sucesiones sin “0” ni “1”: 1Total de sucesiones sin “0” ni “2”: 1Total de sucesiones sin “1” ni “2”: 1Resumiendo: 3n-3·2n+1+1+1

 

30. Sea E un alfabeto con 5 vocales y 21 consonantes. ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse con las letras de E, tales que la primera y la última letras sean vocales distintas y las otras tres sean consonantes distintas?

a) 26!/(3!·2!)

b) 25·321

c) V(5,2)·V(21,3)

Solución: formando series V1V2C1C2C3 (donde V=vocal, C=consonante)Para V1V2 tenemos: V(5,2)=5·4 posibilidadesPara C1C2C3 tenemos: V(21,3)=21·20·19Total=V(5,2)·V(21,3)=5·4·21·20·19

 

31. Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 se forman números de tres cifras. ¿Cuántos números diferentes pueden formarse sin repetir cifras que sean múltiplos de 3?

a) 60

b) 24

c) 20

Solución: escogemos primeramente los subconjuntos de tres elementos que dan lugar a números múltiplos de 3:123, 135, 234, 345 ->4 subconjuntosAhora obtenemos todas las permutaciones de estos tres elementos -> 3!=6 por cada subconjuntoTotal=4·3!=24

 

32. ¿Cuántas permutaciones del conjunto de números {1, 2, 3, 4, 6, 9} satisfacen la condición de que en la primera posición y en la última haya un múltiplo de 3?

a) 360

b) 24

c) 144

Solución: cifras múltiplos de 3 son: 3, 6, 9En la primera y en la última deben estar ocupadas por dos de estas cifras, lo que tenemos: V(3,2)=3·2=6 posibilidadesLas otras cuatro posiciones pueden ser ocupadas por las cifras restantes de V(4,4)=P4=4·3·2·1=24Total=6·24=144

 

33. En una carrera de maratón intervienen 4 corredores por cada uno de los 4 equipos. Supuesto que terminan la carrera todos los corredores, ¿cuántos resultados distintos pueden darse al acabar la carrera en los cuales no hay ningún corredor del equipo A entre los tres primeros?

a) 1348

b) 1320

c) 1570

Solución: no pueden quedar en las tres primeras posiciones los 4 corredores del equipo A, pero sí los 12 restantes.La 1ª posición puede ser ocupada por 12 corredores.Por cada ocupación de la primera, la segunda puede ser ocupada por 11.Y por cada ocupación de la primera y segunda la tercera puede ser ocupada por 10.Total=12·11·10=1320

 

34. ¿Cuántas permutaciones del conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, satisfacen la condición: el 1 está en primera posición y el 4 en la tercera?

a) 23

b) 24

c) 26

Solución: si el 1 ocupa la primera posición y el 4 la tercera, quedan 4 elementos por colocar en las restantes 4 posiciones, lo que hace un total de 4!=24 permutaciones.

 

35. Se tienen “cadenas” formadas por dos letras seguidas de cuatro dígitos y otras tres letras más. No están permitidas las repeticiones de letras y dígitos dentro de cada grupo, pero el último grupo de tres letras puede contener una o dos de las utilizadas al principio de la cadena. ¿Cuántas cadenas distintas se pueden formar si el número de letras disponibles es 26?

a) 560.000.000

b) 720.100.029

c) 51.105.600.000

Solución: para obtener todas las series de la forma: L1L2D1D2D3D4L3L4L5 (donde L=letra y D=dígito). Para L1Ltenemos 26·25 posibilidadesPara D1D2D3D4 tenemos 10·9·8·7 posibilidadesY para L3L4L5 tenemos 26·25·24Total=26·25·10·9·8·7·26·25·24=51.105.600.000

 

36. Una ficha de un n-dominó es una pieza rectangular cuya superficie está dividida en dos cuadrados. Cada cuadrado puede ser blanco o contener de uno a n puntos. ¿Cuántas fichas diferentes contiene un n-dominó?

a) (n+1)2

b) (n2+3n+2)/2

c) n2+n

Solución: fichas(0,1), (0,2), (0,3),…, (0,n) -> n+1 (1,2), (1,3),…, (1,n) -> n (2,3),…, (2,n) -> n-1 … (n,n) -> 1Total=1+2+3+…+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2

37. El número de divisores positivos del número 600, comprendidos el 1 y el 600, es:

a) 19

b) 46

c) 24

Solución: el número de divisores de un número n que se descompone: n=ai·bj·ck·dl… es:(i+1)(j+1)(k+1)(l+1)…En nuestro caso 600=23·31·52, lo que nos indica que hay: (3+1)(1+1)(2+1)=24 divisores

 

38. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar la palabra EXAMENES si no puede haber dos “E” adyacentes?

a) 2100

b) 2400

c) 5400

Solución: hay tres E, que de forma no adyacente se pueden colocar de 20 formas distintas. Las restantes cinco letras se pueden colocar de 5! maneras distintas. Total=20·5!=20·120=2400

 

39. Un deportista ha entrenado 42 horas a lo largo de 8 días consecutivos (se supone que cada día lo ha hecho un número entero de horas). Entonces hubo necesariamente un par de días consecutivos en los que entrenó, al menos, un total de horas de:

a) 13

b) 12

c) 11

Solución: si repartimos 40 horas en ocho días obtenemos una distribución equitativa: 55555555Podemos así garantizar que no hay pareja de días con más de 10horas. Si añadimos 2 horas, pueden quedar en la forma: 55655565Entonces habrá al menos una pareja con 11 días.

 

40. ¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación: x1+x2+x3+x4=25?

a) 2024

b) 3276

c) 12650

Solución: el problema equivale a obtener todas las posibles permutaciones con repetición de los elementos:11111/11111/11111/11111/11111es decir: C(29, 25) = 3276

 

41. ¿De cuántas maneras se pueden formar un equipo de baloncesto de 5 jugadores, si en la plantilla hay 12 jugadores. (No se tiene en cuenta el puesto de cada jugador)?

a) 125

b) C(12,5)

c) 5!/12

Solución: un equipo equivale a un subconjunto de 5 elementos. Habrá tantos equipos como subconjuntos, es decir: C(12,5)

 

42. ¿De cuántas formas se pueden disponer en una fila las letras: abcdxxxxx, de modo que ningún par de “x” queden juntas?

a) 24

b) 9!/5!

c) 4!·5!

Solución: las x se pueden colocar únicamente de una manera posible, como separadores de las demás letras, es decir:x_x_x_x_xEn los huecos se pueden colocar las cuatro letras restantes de 4! formas distintas, es decir: 4!=24

 

43. ¿Cuántas permutaciones de los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, dejan fijo tres números?

a) 36

b) 6

c) 40

Solución: primero escogemos los tres números que van fijos, esto puede ocurrir de C(6,3) formas distintas.Luego buscamos todas las desordenaciones de los restantes tres elementos, hay un total de d(3).En total tenemos:C(6, 3) . d(3) = 40

 

44. ¿Cuál es el número de colocaciones diferentes de 8 libros en una estantería de modo que cuatro libros determinados estén siempre separados entre sí?

a) 2880

b) 3040

c) 3268

Solución: primero determinamos el número de maneras de colocar 4 libros en 8 casillas de forma que estén separados entre sí; hay 5 maneras.

 

Después podemos colocar cuatro libros en dichas de 4! formas distintas.

Por último nos queda colocar los cuatro libros restantes, que se puede hacer de 4! formas distintas, es decir permutaciones de 4 elementos.En total tenemos: 5·4!·4!=5·24·24=2880

45. ¿Cuál es el número de colocaciones diferentes de 7 libros en una estantería de modo que tres libros determinados estén siempre separados entre sí?

a) 1520

b) 1634

c) 1440

Solución: primero escogemos tres posiciones separadas, cosa que se puede hacer de 10 maneras distintas. Luego colocamos los tres libros en esas posiciones, se puede hacer de 3! modos distintos.Por último colocamos los cuatro libros restantes en las cuatro posiciones pendientes de cubrir, obtenemos 4! maneras.En total: 10·3!·4!=10·6·24=1440

 

46. Una organización estudiantil tiene que elegir un delegado y un subdelegado. Hay 7 candidatos. ¿Cuántas elecciones distintas se pueden hacer?

a) 21

b) 42

c) 49

Solución: son variaciones sin repetición de 7 elementos tomados de 2 en 2.V(7,2)=7·6=42

 

47. ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de una población para que exista al menos un día del año (365 días) donde coincida la fecha de nacimiento de, al menos, 10 personas:

a) 3650

b) 2921

c) 3286

Solución: podemos colocar un total de 365·9=3285 personas de modo que para cada día cumplan años 9 personas como mucho. Si añadimos una más, podemos garantizar que va a existir un día con 10 personas. Luego necesitamos 3285+1=3286

 

48. Sea A un alfabeto formado por 6 vocales y 16 consonantes. ¿Cuántas palabras distintas de seis letras pueden formarse con las letras de A, de modo que la primera y la quinta letra de cada palabra sean vocales distintas y las otras cuatro letras sean consonantes?

a) 22!/(6!·16!)

b) V(6,2)·V(16,4); (V significa variaciones)

c) 30·164

Solución: Las disposiciones son: V1C1C2C3V2C4Las dos vocales pueden escogerse de V(6,2)=6·5=30 formas distintas, dado que no se pueden repetir.Las cuatro consonantes, como se pueden repetir, hay VR(16,4)=16·16·16·16En total tenemos: 30·164

 

49. ¿Cuántas soluciones en números enteros tiene la ecuación: x1+x2+x3=9, con la condición de que xi³2, para i=1, 2, 3?

a) 55

b) 10

c) 6

Solución: el problema equivale a obtener el número de formas distintas de colocar 9 bolas iguales en 3 urnas. Como debemos garantizar que xi³2, cosa que se consigue separando primero 6 bolas y colocándolas dos en cada urna. Con lo cual sólo nos queda colocar 3 bolas en las tres urnas, cosa que se puede hacer deC(5, 3) = 10 maneras distintas

 

50. Se tienen cadenas formadas por dos letras seguidas de dos dígitos y, a continuación, tres letras más. En cada grupo no están permitidas las repeticiones, pero el último grupo de tres letras puede contener (como máximo) una de las utilizadas en el primer grupo. Si el número de letras disponibles es 12, ¿cuántas cadenas distintas se pueden formar?

a) 23.522.400 (¿..ojo..?)

b) 980.100 (no es)

c) 7.840.000 (no es)

Solución: (un razonamiento por eliminación sería el siguiente)Para formar una ristra: V1V2D1D2V3V4V5La subristra V1V2 D1D2-> de 12·11·10·9 formasSi contamos los casos en que todas las vocales son distintas, para V3V4V-> 10·9·8Con todos los símbolos distintos tenemos: 12·11·10·9·10·9·8=8.553.600 formas distintas con los dígitos y las letras distintas entre sí.Como el problema dice que se pueden repetir una de las dos primeras letras en las tres últimas casillas, la cantidad de colocaciones será superior.Por exclusión, y supuesto que hay una sóla respuesta correcta, la correcta es la a)

 

51. ¿Cuántas sucesiones con n³3 elementos se pueden formar con los símbolos del conjunto {a, b, c}, que poseen al menos una “a”, al menos una “b” y al menos una “c” y tales que todas las “a” sean contiguas y lo mismo las “b” y las “c”:

a) 3n-3·2n+3

b) 3n-2n-13

c) 3n2-9n+6

Solución: hay 3! maneras distintas de colocar las a, las b y las c.Supongamos que primero están las a, luego las b y por último las c. El problema ahora es similar a colocar n bolas en tres urnas etiquetadas con a, b y c respectivamente. Como tiene que haber al menos una a, una b y una c. Tendremos que separar tres bolas y colocar una en cada urna: El problema repartiendo (n-3) bolas en tres urnas, lo que hacen: En total: 3!·CR(n-1,2)=3(n-1)(n-2)=3n2-9n+6

 

52. ¿Cuál es el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación: x1+x2+x3+x4=15?

a) 816

b) 364

c) 580

 

Solución: C(18,15)=(18·17·16)/(3·2)=816

 

53. ¿Cuántos números distintos de seis cifras se pueden formar con cuatro “2” y cuatro “3”?

a) 50

b) 45

c) 36

Solución: se obtienen formando todas las permutaciones de las siguientes secuencias222233-> = 15222333->= 20223333->= 15En total tenemos: 15+20+15=50

 

54. Sea Zn el conjunto de los restos módulo n. ¿Cuántas aplicaciones inyectivas hay entre Z5 y Z8?

a) 6720

b) 85

c) 56

Solución: aplicaciones inyectivas entre los conjuntos {0,1,2,3,4} y {0,1,2,3,4,5,6,7} hay V(8,5)=8·7·6·5·4=6720

 

55. En una carrera deportiva participan cinco equipos de cuatro corredores cada uno. Para contabilizar el resultado se tiene en cuenta sólo los tres primeros corredores en la meta. ¿Cuántos resultados distintos son posibles, con la condición de que los tres corredores sean de tres equipos distintos?

a) 60

b) 3.840

c) 24.300

Solución:Primero seleccionamos los tres equipos, de C(5,3) formas distintas.Segundo obtenemos todas las permutaciones de esos tres equipos, de 3! formas. Tenemos así fijado que equipo va a ser primero, cual segundo y cual va a ser el tercero.Por último, podemos escoger 4 ganadores, 4 posibles segundo puesto, y 4 tercer puesto.En total: C(5,3)·3!·4·4·4=3840

 

56. ¿De cuántas formas distintas pueden colorearse diez bolas de golf usando cuatro colores {a, b, c, d}, de modo que haya al menos tres bolas de color b y exactamente dos del color d?

a) 21

b) 286

c) 10.000

Solución: el problema es similar a colocar las 5 bolas en tres urnas etiquetadas con a, b, c y d respectivamente, donde ya residen 3 bolas en b y 2 en d, y en d no se pueden colocar más Es decir C(7,5)=21

 

57. ¿Cuántas permutaciones de los números (1, 2, 3, 4, 5) dejan fijo exactamente dos números no consecutivos?

a) 12

b) 48

c) 36

Solución: Parejas de números hay: C(5,2)Dos posiciones consecutivas se pueden escoger de 4 formas, que son:XX—-XX—-XX—-XXLuego parejas no consecutivas hay: C(5,2)-4=6Tenemos que multiplicar el número de parejas consecutivas que representan los números fijos por todas las desordenaciones de los restantes 3 elementos.En total: 6·d(3)=6·3!·(1-1+1/2!-1/3!)=6·2=12

 

58. El número de soluciones en números enteros positivos de la ecuación x+y+z=10, es

a) 78

b) 36

c) 30

Solución: el problema es similar a colocar 7 bolas en tres urnas etiquetadas con X, Y y Z.Donde x es el número de bolas que hay en XDonde y es el número de bolas que hay en YDonde z es el número de bolas que hay en Z.Como buscamos números positivos, debemos colocar inicialmente una bola en cada urna y quedarían por colocar posteriormente 7 bolas.En total tenemos: C(9,7)=36

 

59. ¿Cuántos números distintos de tres cifras, múltiplos de cinco, se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 5 y 6, pudiéndose repetir las cifras?

a) 35

b) 120

c) 25

Solución: para que sea múltiplo de 5 debe terminar en “5”.Tenemos 5 cifras para colocar en la primera y en la segunda posición, pudiéndose repetir:Total: 5·5·1=25

 

60. ¿Cuántas permutaciones de los números 1, 2, 3, 4 y 5, dejan fijo dos o más números?

a) 31

b) 56

c) 89

Solución: pueden dejar exactamente:- dos dígitos->C(5,2)·d(3)=10·2=20- tres dígitos->C(5,3)·d(2)=10·1=10-cuatro/cinco dígitos->1Total: 20+10+1=31

Problemas de Combinatoria (II)

Problemas de combinatoria: Permutaciones, variaciones y combinaciones

Aquí os paso unos problemasejerciciosprácticas o como queríais llamarlos. Algunos son problemas resueltos.

1.            El número de combinaciones de m elementos, tres a tres, y el de variaciones, dos a dos, son iguales para un cierto valor de m. ¿Cuál es éste? Y para él, ¿cuánto valdrá el número de permutaciones? R: 81!; 2·7!.

2.            ¿De cuántos modos diferentes se pueden repartir cuatro juguetes distintos entre tres niños sin que sobren juguetes, ni dejar a ningún niño sin juguete? R.72.

3.            Se suponen ordenadas en sucesión creciente todas las permutaciones ordinarias que pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 5, 8, 9. ¿Qué lugar ocupa la permutación 598132? R. 476

4.            Con las letras de la palabra MALAGA forma todas las permutaciones en las que no haya dos consonantes juntas. R. 12

5.            ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras pares 2, 4, 6 y 8? ¿Cuántos de esos números empiezan por 2? ¿Cuántos terminan en 64? ¿Cuántos hay mayores de 500? ¿Cuánto suman todos los números de tres cifras que se pueden obtener? R. 24; 6; 12; 13320.

6.            ¿Cuántas palabras diferentes de tres letras pueden formarse con las letras de la palabra CIMA, sin que se repita ninguna letra? Una vez calculado el número, escríbelas todas ordenadamente.

7.            Calcula cuántas palabras diferentes de cuatro letras distintas pueden formarse con las letras de la palabra MUSA. Después escríbelas ordenadamente.

8.            ¿Cuántos subconjuntos distintos de tres elementos pueden formarse con un conjunto de 8 elementos?

9.            Calcular el valor de m para que  Vm,3 = 2 Vm,2

10.        Hallar el valor de m para que se verifique Vm,2 + Vm-1,2 + Vm-2,2 = 62

11.        Escribir como cociente de números factoriales las siguientes expresiones:

a)      11 x 10 x 9b)      (x+1) x (x-1)c)      (p-2) (p-3) (p-4)

12.        Resolver la ecuación   Px-1 = 56 Px-3

13.        Resolver la ecuación   Vx,2 + 5 P3 = 9x + 6

14.        Hallar x sabiendo que Cx,x-2 = 10

15.        Resolver la ecuación   3 Cx,4 = 5 Cx,2

16.        En una carrera en la que participan 10 caballos existen dos tipos de apuesta: en la primera hay que acertar quién va a quedar primero, quién segundo y quién tercero; en la segunda hay que acertar cuáles van a ser los cuatro primeros caballos en llegar, pero no su clasificación. ¿Cuál de los dos tipos de apuesta crees que es más sencilla?

17.        ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas pueden escribirse con las cifras 0, 2, 4, 6?

18.        Dibuja una circunferencia y marca sobre la misma doce puntos. Uniendo parejas de esos puntos ¿Cuántos pentágonos distintos se podrían formar?

19.         Con las cifras 0, 2, 4, 6 y 8 ¿cuántos números distintos de tres cifras, todas ellas diferentes, pueden formarse?

20.        ¿Cuántos números mayores que 4100 se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4 sin que se repita ninguna?

21.        Recordando que una diagonal de un polígono convexo es el segmento que une dos vértices no consecutivos ¿cuántas diagonales se pueden trazar en un octógono convexo?

22.        Averiguar cuántas guardias de cinco personas se pueden programar con 14 soldados, con la condición de que el más antiguo de ellos ha de participar en todas.

23.        Calcular la suma de todos los números de 4 cifras distintas que se pueden formar con las cifras 1, 3, 5, 7.

24.        En una fábrica hay varios centros de almacenamiento, cada uno de los cuales está unido a los demás por una cinta transportadora. Calcula el número de centros de la fábrica si se sabe que el número de cintas transportadoras es 66.

25.        ¿Cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con las cifras 2, 3, 5, 7, 8, teniendo que ser la primera cifra par?

26.        Hallar cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con las cifras 2, 3, 4, 5, 6, 7 que estén comprendidos entre 400 y 600.

27.        Calcula la suma de todos los números de cuatro cifras significativas, todas ellas pares y diferentes.

28.        Se tienen nueve puntos en un plano. Cuatro de ellos están alineados y los restantes están dispuestos de forma que no hay nunca 3 alineados. ¿Cuántos triángulos pueden formarse que tengan sus vértices sobre esos 9 puntos? ¿Cuántas rectas distintas determinan esos puntos?

29.        ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con cinco banderas distintas agrupándolas de tres en tres y sin que se repita ninguna? ¿Y agrupándolas de todas las formas posibles (es decir, de una en una, de dos en dos, etc)?

30.        Halla la suma de todos los números de cinco cifras diferentes que pueden formase con las cifras 0, 1, 2, 3, 4.

31.        ¿Cuántas palabras (con sentido o no) pueden formarse que tengan exactamente las mismas letras de la palabra CASTO y que empiecen y terminen por vocal?

32.        En un club de fútbol hay 23 jugadores, de los que 3 son porteros. ¿Cuántas alineaciones diferentes puede hacer el entrenador si cualquiera de los jugadores de campo puede jugar como defensa, medio o delantero?

33.        ¿Cuántos equipos de baloncesto de 5 jugadores cada uno pueden hacerse en un club de 11 jugadores, con la condición de que los jugadores A, B y C no pueden estar simultáneamente en el mismo equipo?

34.        Averiguar cuántos números mayores que 200 y menores que 700 pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sin que tengan cifras repetidas. Responde a la misma cuestión en el caso de que las cifras se puedan repetir.

35.        ¿Cuántas quinielas de fútbol habría que hacer para tener la certeza de tener una de 14 aciertos? (No tenemos en cuenta la opción del pleno al 15). ¿Cuántas apuestas habría que rellenar en el Bono Loto o en la Lotería Primitiva para tener la certeza de tener una de 6 aciertos? ¿Cuántos números de la Lotería Nacional tendría que adquirir para estar seguro de que me toca el gordo? Averigua los precios actuales de cada una de esas apuestas y explica por qué existe esa variedad.

36.        Con las letras de la palabra BRAVO, ¿cuántas ordenaciones distintas pueden hacerse de forma que no haya dos vocales juntas?

37.        Suponemos ordenadas en forma creciente todas las permutaciones que pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 5, 8, 9 sin que se repita ninguna. ¿Qué lugar ocupará la permutación 598132?

38.        ¿Cuántos puntos de intersección producen 8 rectas coplanarias, sabiendo que dos de ellas son paralelas?

39.        ¿Cuántas palabras que contengan dos consonantes y dos vocales pueden formarse con cinco consonantes y cuatro vocales?

40.        ¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse con las cifras 4, 5, 6 y 7? ¿Cuántos de esos números terminan en 5? Calcula la suma de todos los números obtenidos en las dos preguntas anteriores?

41.        Se suponen ordenadas en sentido creciente todas las permutaciones posibles con las cifras 1, 2, 3, 5, 7, y 8 ¿Qué lugar ocupará la permutación 731825?

42.        Con, exactamente, las letras de la palabra FRANCISCO ¿cuántas palabras pueden formarse con la condición de que empiecen por N y terminen por una consonante?

43.        De cierto número de rectas coplanarias se sabe que no hay tres de ellas que concurran en el mismo punto y no hay ninguna pareja de rectas paralelas. Esas rectas producen 45 puntos al cortarse. ¿De cuántas rectas estamos hablando?

44.        En cada uno de los ocho vértices del octógono en que termina la torre de mando de un buque hay luces de colores diferentes. ¿Cuántas señales distintas se podrán hacer encendiendo menos de cinco luces?

45.        ¿Cuántas multiplicaciones distintas de tres factores distintos con una cifra cada uno pueden hacerse con la condición de que el resultado debe ser distinto de cero? ¿Y si quitamos la condición de que los factores sean distintos?

46.        ¿Cuántos productos diferentes pueden formarse con los números 7, 9, 11, 13 y 17 tomados de tres en tres?

47.        Con seis pesas de 1, 2, 5, 10, 20, y 50 kg ¿Cuántas pesadas diferentes pueden obtenerse tomándolas de tres en tres?

48.        ¿Cuántos números enteros distintos mayores que 10 y menores que 100 pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8?

49.        ¿Cuántas palabras, con significado o no, pueden formarse con todas las letras de la palabra “problema”?

50.        ¿Cuántos números distintos de cinco cifras diferentes pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 que sean menores que 54000?

Artículos relacionados

Problemas de combinatoria I

Problemas de combinatoria III

Combinatoria (I): Problemas

Problemas de combinatoria: Permutaciones, variaciones y combinaciones

combinatoria

 

 

 

 

 

Aquí os paso unos problemasejerciciosprácticas o como queríais llamarlos. Algunos son problemas resueltos.

1.            En un campamento mundial de ciclismo participan cuatro equipos que permiten a los cuatro países siguientes: España, Francia, Alemania, e Italia. ¿Cuántas clasificaciones se pueden hacer?

4 = 4! = 4· 3· 2· 1 = 24

2.            ¿De cuantas formas distintas se pueden sentar ocho personas en un banco?

P 8 = 8! = 8· 7· 6· 5· 4· 3· 2· 1 = 40320

3.            ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar ocho personas en una mesa circular?

NOTA: Hay que tener en cuenta que una vez sentada, si trasladamos a cada persona un asiento a la izquierda obtendremos una posición idéntica a la anterior. Por lo que fijaremos a una persona y permutamos el resto de todas las formas posibles:

P 7 = 7! = 7· 6· 5· 4· 3· 2· 1 = 5040

4.            Un jugador habitual de quinielas tiene la corazonada de que en la próxima jornada futbolística ganarán 9 equipos en casa, empataran 3 y ganaran en campo contrario 2, ¿cuántas quinielas deberá rellenar para asegurarse un pleno de 14?

 =  20.020

5.            Si se desean repartir 3 relojes, 2 bicicletas y 4 pelotas entre 9 niños, de modo que cada uno de ellos reciba un regalo, ¿cuántas formas posibles hay de hacerlo?

P   = 1260

6.            En una jaula hay cuatro conejos blancos y tres grises. Salen de la jaula de uno en uno, ¿de cuántas maneras distintas pueden hacerlo?

= 35

7.            ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con la palabra MATEMÁTICAS?

8.            ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar ocho personas en un banco?

9.            En una competición participan cinco equipos, ¿de cuántas maneras se pueden clasificar?

10.        Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra AVIÓN?

V(5, 3)  = 5· 4· 3 = 60

11.        En una quiniela hípica hay que acertar los tres primeros caballos que llegan a meta  en una carrera en la que hay diez competidores. ¿Cuántas quinielas hay que hacer para acertar?

V (10, 3) = 10· 9· 8 = 720

12.        ¿De cuantas formas distintas se pueden sentar 12 alumnos en los cuatro asientos de la primera fila de la clase?, ¿Y si el primer puesto está siempre reservado para el delegado?

V (12, 4) = 12· 11· 10· 9 = 11.880

(como se fija un asiento hay 11 alumnos, y por tanto 3 asientos)

V 11, 3 = 11· 10· 9 = 990

13.        Calcula el número de quinielas de fútbol que hay que hacer para acertar 14 con seguridad.

V R 3, 14 = 3 14 = 4.782.969

14.        Se lanzan tres dados de distintos colores una vez, ¿cuántos resultados distintos se pueden obtener?

V R 6, 3  = 6 3 = 216

15.        En los próximos campeonatos mundiales de fútbol van a participar 24 equipos, ¿de cuántas maneras pueden estos equipos ocupar los cuatro primeros puestos?

16.        En el alfabeto telegráfico Morse se utilizan dos signos: el punto y la raya, ¿se pueden representar todas las letras del abecedario  por grupos formados con uno, dos, tres o cuatro signos?

17.        Con las cinco primeras cifras significativas ¿cuántos números de cuatro cifras pueden formarse que sean distintos entre sí y que al mismo tiempo sean múltiplos de 3?  Y ¿cuantos sean múltiplos de 4?

18.        En una carrera donde compiten 10 corredores y se clasifican los tres primeros para la fase siguiente, indica las combinaciones posibles que habrá.

C10, 3 = 120 casos posibles

19.        Suponemos que van a enviarse cinco jueces federales a cierto Estado. El jefe del senado estatal envía al presidente una lista que contiene los nombres de diez hombres y cuatro mujeres. Si el presidente decide que de los cinco jueces tres deben ser hombres y dos mujeres, ¿de cuántas maneras puede lograrse?

C10, 3 = 120 casos posibles de hombres

C4, 2 = 6 casos posibles de mujeres. Por lo que el número total de casos es:

 

120· 6 = 720 casos totales

20.        ¿De cuántas maneras se pueden extraer tres cartas de un conjunto de cuarenta?

C40, 3 =  9880 cartas diferentes se pueden extraer

21.        El dueño de un bar desea atraer el número máximo de clientes,  cada fin de semana, por lo que propone diferentes cócteles, empleando en cada cóctel 4 bebidas de las 15 que posee ¿de cuántas maneras podrá mezclarlas y así tener un número máximo de clientes? Por favor ayude al dueño.

C15, 4 = 1365 cócteles diferentes puede hacer, por lo que deseamos que atraiga el número máximo de clientes durante el fin de semana.

22.        En la universidad Pontificia los alumnos deciden realizar un sorteo para el viaje de fin de curso. Para numerar las papeletas deciden utilizar únicamente los dígitos 1, 2, 3, 4, 5. ¿Cuántas papeletas distintas de cuatro dígitos podrán vender si no se tiene en cuenta el orden, y los dígitos pueden ser repetidos?

C R  = 70 papeletas diferentes

23.        Un programa de TV desea poner 3 presentadores para una gala puedes decir ¿cuántos grupos de géneros (hombre, mujer) distintos se pueden formar? ¿Cuántos grupos posibles de  se pueden formar si disponemos de 7 personas?

CR 2, 3 =    4 grupos posibles distintos

C 7, 3 =  35 grupos de presentadores diferentes

24.        En una confitería hace cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden encargar cuatro pasteles, teniendo en cuenta que se pueden llevar uno o más de la misma clase?

C 5, 4 = 70 formas se pueden elegir

25.        Se presentan 10 candidatos a unas elecciones para elegir a tres diputados. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer la elección?

26.        En una reunión de 30 personas se decide formar comisiones con 6 personas para estudiar un cierto plan. ¿Cuántas comisiones diferentes se pueden formar?

27.        Si se dispone de 3 bolas iguales a las que hay que distribuir en 5 cajas distinguibles, ¿de cuántas maneras se puede hacer?

28.        En los próximos campeonatos mundiales de fútbol van a participar 24 equipos, ¿de cuántas maneras pueden estos equipos ocupar los cuatro primeros puestos?

29.        En el alfabeto telegráfico Morse se utilizan dos signos: el punto y la raya, ¿se pueden representar todas las letras del abecedario  por grupos formados con uno, dos, tres o cuatro signos?

30.        ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con la palabra MATEMÁTICAS?

31.        ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar ocho personas en un banco?

32.        En una competición participan cinco equipos, ¿de cuántas maneras se pueden clasificar?   

33.        Se presentan 10 candidatos a unas elecciones para elegir a tres diputados. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer la elección?

34.        En una reunión de 30 personas se decide formar comisiones con 6 personas para estudiar un cierto plan. ¿Cuántas comisiones diferentes se pueden formar?

35.        Si se dispone de 3 bolas iguales a las que hay que distribuir en 5 cajas distinguibles, ¿de cuántas maneras se puede hacer?

36.        ¿Cuánto vale el quinto término del siguiente binomio (x2 +2 )7? (ordenado en el orden decreciente del grado de x)

37.        Con las cinco primeras cifras significativas, ¿cuántos números de cuatro cifras pueden formarse que sean distintos entre sí y que al mismo tiempo sean múltiplos de tres? Y ¿cuántos que sean múltiplos de cuatro? R. 24, 24

38.        Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6, ¿cuántos números de cinco cifras, no repetidas, pueden formarse que sean múltiplos de cuatro? R. 192.

39.        ¿Cuántos números de cuatro cifras no repetidas pueden formarse con las del número 354621 que tengan la cifra cinco por centenas? R. 60

40.        ¿Cuántos números de cuatro cifras, no repetidas se pueden formar con las seis primeras significativas? R. 360 ¿En cuántas entrará la cifra cinco? R. 240

41.        Se dispone de las cifras 1, 2, 3, 4, 5, y 6. ¿Cuántos números de cinco cifras no repetidas pueden escribirse de modo que no haya dos cifras pares ni impares juntas? R.72

42.        En cada uno de los vértices de un hexágono hay sendas luces de distinto color, ¿cuántas señales distintas se pueden hacer encendiendo menos de cuatro luces, y definiendo señales distintas cuando hay cambio de color? R.41.

43.        Calcula cuántos números hay de cinco cifras que sean capicúas y que se pueden formar con el cero y los cuatro primeros números primos, sin repetir cifras en los lugares no simétricos. R 48.

44.        ¿De cuántos modos se pueden ordenar siete alumnos A, B, C, D, E, F y G, en un banco de modo que el A quede en el primer lugar y B en el tercero? ¿Y si A, C y E han de ocupar siempre lugares impares? R: 51; 576.

45.        Con las siete primeras cifras significativas, ¿cuántas ordenaciones distintas pueden formarse con la condición de las cifras impares ocupen los lugares impares? R. 144.

46.        Calcula la suma de todos los números de cuatro cifras que se pueden formar con los guarismos 2, 4, 6 y 8.

47.        Con las cifras 0, 1, 2, 3 y 4, ¿cuántos números de cinco cifras pueden escribirse? R.96.

48.        Con las letras de la palabra EUROPA, ¿cuántas ordenaciones distintas pueden formarse que empiecen y terminen por consonante? ¿Cuántas que empiecen y terminen por vocal? R.48, 288.

49.        Con las letras de la palabra PERMUTACIÓN, ¿cuántas permutaciones pueden formarse que empiecen por vocal? ¿Y que terminen por consonante?¿Y que empiecen por vocal y terminen por consonante? R: 5·10!; 6·10!; 5·9!.

50.        ¿Cuántos números de tres cifras no repetidas se pueden formar con las nueve cifras significativas? Halla la suma de todos ellos. R: 504; 279720.

 

Artículos relacionados

Problemas de combinatoria II

 Problemas de combinatoria III